Parciálne diferenciálne rovnice a ich aplikácie

Obsah 1 Parciálne diferenciálne rovnice a matematické modelovanie..10 1.1 Zákon zachovania hmoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Rovnica vedenia tepla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Rovnica priečneho kmitania struny . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Black – Scholesov model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Klasifikácia a rád parciálnych diferenciálnych rovníc 25 2.1 Rád diferenciálnej rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Rovnice prvého rádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Klasifikácia rovníc druhého rádu . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Parciálne diferenciálne rovnice prvého rádu 31 3.1 Homogénne rovnice prvého rádu . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Nehomogénne a kvázilineárne rovnice . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4 Parabolické parciálne diferenciálne rovnice............ 45 4.1 Metóda Greenovej funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.1 Motivácia a hlavná myšlienka . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.2 Princíp porovnávania riešeni ´ . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.3 Princíp zhladzovania a dalšie dôsledky . . . . . . . . 54 4.1.4 Nehomogénne parabolické rovnice . . . . . . . . . . . 56 4.1.5 Prípad viacrozmernej oblasti . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.6 Aplikácia na Black – Scholesov model . . . . . . . . . 58 4.1.7 Príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Fourierova metóda separácie premenných . . . . . . . . . .. 65 4.2.1 Motivácia a hlavná myšlienka . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.2 Metóda hladania riešenia pomocou separácie premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66